真题库

设随机变量$X$的概率分布为$P(X=-2)=\frac{1}{2}$，$P(X=1)=a$，$P(X=3)=b$，若$E(X)=0$，则$D(X)=$ 。

计算积分${\iint }_D\frac{y^3}{(1+x^2+y^4{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是第一象限中以曲线$y=\sqrt{x}$与$x$轴为边界的无界区域。

已知方程$\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}=k$在区间$(0,1)$内有实根，求$k$的范围。

设$a_0=1$，$a_1=0$，$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}(n{a}_n+a_{n-1})(n=1,2,\cdots )$，$S(x)$为幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的和函数。

若反常积分${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^a(1+x{)}^b}\mathrm{d}x$收敛，则（　　）。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}2(x-1),& x<1,\\ \ln x,& x\ge 1,\end{array}$，则$f(x)$的一个原函数是（　　）。

若$y_1=(1+x^2{)}^2-\sqrt{1+x^2},y_2=(1+x^2{)}^2+\sqrt{1+x^2}$是微分方程$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$的两个解，则$q(x)=$（　　）。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\le 0,\\ \frac{1}{n},& \frac{1}{n+1}<x\le \frac{1}{n},n=1,2,\dots ,\end{array}$，则（　　）。

设$A,B$是可逆矩阵，且$A$与$B$相似，则下列结论错误的是（　　）。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1{x}_2+4x_1{x}_3+4x_2{x}_3$，则$f(x_1,x_2,x_3)=2$在空间直角坐标下表示的二次曲面为（　　）。

设随机变量$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$（$\sigma >0$），记$p=P\{X\le \mu +{\sigma }^2\}$，则（　　）。

随机试验$E$有三种两两不相容的结果$A_1,A_2,A_3$，且三种结果发生的概率均为$\frac{1}{3}$。将试验$E$独立重复做$2$次，$X$表示$2$次试验中结果$A_1$发生的次数，$Y$表示$2$次试验中结果$A_2$发生的次数，则$X$与$Y$的相关系数为（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}t\ln (1+t\sin t)\mathrm{dt}}{1-\cos x^2}=$ 。

向量场$A(x,y,z)=(x+y+z)i+xyj+zk$的旋度$\mathrm{rot}A=$ 。

设函数$f(u,v)$可微，$z=z(x,y)$由方程$(x+1)z-y^2=x^{2}f(x-z,y)$确定，则$\mathrm{d}z{|}_{(0,1)}=$ 。

设函数$f(x)=\arctan x-\frac{x}{1+a{x}^2}$，且$f^{\prime \prime \prime }(0)=1$，则$a=$ 。

行列式$\left|\begin{array}{cccc}\lambda & -1& 0& 0\\ 0& \lambda & -1& 0\\ 0& 0& \lambda & -1\\ 4& 3& 2& \lambda +1\end{array}\right|=$ 。

设$x_1,x_2,\dots ,x_n$为来自总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的简单随机样本，样本均值$\overline{x}=9.5$，参数$\mu$的置信度为$0.95$的双侧置信区间的置信上限为$10.8$，则$\mu$的置信度为$0.95$的双侧置信区间为 。

已知平面区域$D=\{(r,\theta )\mid 2\le r\le 2(1+\cos \theta ),-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}\}$，计算二重积分${\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设函数$y(x)$满足方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ky=0$，其中$0<k<1$。