真题库

设函数$f(x,y)$满足$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=(2x+1){\mathrm{e}}^{2x-y},f(0,y)=y+1$。$L_t$是从点$(0,0)$到点$(1,t)$的光滑曲线，计算曲线积分$I(t)={\int }_{L_t}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\mathrm{d}y$，并求$I(t)$的最小值。

设有界区域$\Omega$由平面$2x+y+2z=2$与三个坐标平面围成，$\Sigma$为$\Omega$整个表面的外侧，计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }(x^2+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z-2y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知函数$f(x)$可导，且$f(0)=1,0<f^{\prime }(x)<\frac{1}{2}$，设数列$\{x_n\}$满足$x_{n+1}=f(x_n)(n=1,2,\dots )$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 2& a& 1\\ -1& 1& a\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& a\\ -a-1& -2\end{array}\right)$。当$a$为何值时，方程$AX=B$无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程。

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 2& -3& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。

设二维随机变量$(X,Y)$在区域$D=\{(x,y)\mid 0<x<1,x^2<y<\sqrt{x}\}$上服从均匀分布，令$U=\{\begin{array}{ll}1,& X\le Y,\\ 0,& X>Y.\end{array}$。

设总体$X$的概率密度为$f(x,\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{3x^2}{{\theta }^3},& 0<x<\theta ,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$其中$\theta \in (0,+\infty )$为未知参数，$X_1,X_2,X_3$为来自总体$X$的简单随机样本，令$T=\max \{X_1,X_2,X_3\}$。

设$a_1=x(\cos \sqrt{x}-1),a_2=\sqrt{x}\ln (1+\sqrt[3]{x}),a_3=\sqrt[3]{x+1}-1$。当$x\to 0^{+}$时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（　　）。

反常积分① ${\int }_{-\infty }^0\frac{1}{x^2}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x$，② ${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^2}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x$的敛散性为（　　）。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，其导函数的图形如图所示，则（　　）。

设函数$f_i(x)(i=1,2)$具有二阶连续导数，且$f_i^{\prime \prime }(x_0)<0(i=1,2)$。若两条曲线$y=f_i(x)(i=1,2)$在点$(x_0,y_0)$处具有公切线$y=g(x)$，且在该点处曲线$y=f_1(x)$的曲率大于曲线$y=f_2(x)$的曲率，则在$x_0$的某个邻域内，有（　　）。

已知函数$f(x,y)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x-y}$，则（　　）。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+2x_1{x}_2+2x_2{x}_3+2x_1{x}_3$的正负惯性指数分别为$1,2$，则（　　）。

曲线$y=\frac{x^3}{1+x^2}+\arctan (1+x^2)$的斜渐近线方程为 。

极限$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}(\sin \frac{1}{n}+2\sin \frac{2}{n}+\cdots +n\sin \frac{n}{n})=$ 。

以$y=x^2-{\mathrm{e}}^x$和$y=x^2$为特解的一阶非齐次线性微分方程为 。

已知函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上连续，且$f(x)=(x+1{)}^2+2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则当$n\ge 2$时，$f^{(n)}(0)=$ 。

已知动点$P$在曲线$y=x^3$上运动，记坐标原点与点$P$间的距离为$l$。若点$P$的横坐标对时间的变化率为常数$v_0$，则当点$P$运动到点$(1,1)$时，$l$对时间的变化率是 。

设矩阵$\left(\begin{array}{ccc}a& -1& -1\\ -1& a& -1\\ -1& -1& a\end{array}\right)$与$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$等价，则$a=$ 。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos 2x+2x\sin x{)}^{\frac{1}{x^4}}$。