真题库

设函数$f(x)={\int }_0^1|t^2-x^2|\mathrm{d}t(x>0)$，求$f^{\prime }(x)$并求$f(x)$的最小值。

已知函数$z=z(x,y)$由方程$(x^2+y^2)z+\ln z+2(x+y+1)=0$确定，求$z=z(x,y)$的极值。

设$D$是由直线$y=1,y=x,y=-x$围成的有界区域，计算二重积分${\iint }_D\frac{x^2-xy-y^2}{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知$y_1(x)={\mathrm{e}}^x,y_2(x)=u(x){\mathrm{e}}^x$是二阶微分方程$(2x-1)y^{\prime \prime }-(2x+1)y^{\prime }+2y=0$的解，若$u(-1)=\mathrm{e},u(0)=-1$，求$u(x)$，并写出该微分方程的通解。

设$D$是由曲线$y=\sqrt{1-x^2}(0\le x\le 1)$与$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t\\ y={\sin }^{3}t\end{array}(0\le t\le \frac{\pi }{2})$围成的平面区域。

已知$f(x)$在$[0,\frac{3\pi }{2}]$上连续，在$(0,\frac{3\pi }{2})$内是函数$\frac{\cos x}{2x-3\pi }$的一个原函数，且$f(0)=0$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1-a\\ 1& 0& a\\ a+1& 1& a+1\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2a-2\end{array}\right)$，且方程组$Ax=\beta$无解。

设$J_i={\iint }_{D_i}\sqrt[3]{x-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y(i=1,2,3)$，其中$D_1=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$，$D_2=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le \sqrt{x}\}$，$D_3=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,x^2\le y\le 1\}$，则（　　）。

级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})\sin (n+k)$（$k$为常数），则该级数（　　）。

设$A,B$为随机事件，$0<P(A)<1,0<P(B)<1$。若$P(A|B)=1$，则下面正确的是（　　）。

设随机变量$X,Y$独立，且$X\sim N(1,2),Y\sim N(1,4)$，则$D(XY)$为（　　）。

已知函数$f(x)$满足$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+f(x)\sin 2x}-1}{{\mathrm{e}}^{3x}-1}=2$，则$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=$ 。

设$D=\{(x,y)\mid |x|\le y\le 1,-1\le x\le 1\}$，则${\iint }_D{x}^2{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ 。

设袋中有红、白、黑球各$1$个，从中有放回地取球，每次取$1$个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为$4$的概率为 。

设某商品的最大需求量为$1200$件，该商品的需求函数为$Q=Q(p)$，需求弹性$\eta =\frac{p}{120-p}(\eta >0)$，$p$为单价（万元）。

设函数$f(x)$连续，且满足${\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t={\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t+{\mathrm{e}}^{-x}-1$，求$f(x)$。

求幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+2}}{(n+1)(2n+1)}$的收敛域及和函数。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，其中二阶导数$f^{\prime \prime }(x)$的图形如图所示，则曲线$y=f(x)$的拐点个数为（　　）。

设$y=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}+(x-\frac{1}{3}){\mathrm{e}}^x$是二阶常系数非齐次线性微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{\mathrm{e}}^x$的一个特解，则（　　）。

若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$条件收敛，则$x=\sqrt{3}$与$x=3$依次为幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^n$的（　　）。