由 $P(B)>0$ 和 $P(A\mid B)=1$，得 $P(AB)=P(B)$，于是

又 $P(\overline{A})=1-P(A)>0$，并且

因此 $P(\overline{B}\mid \overline{A})=\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{A})}=1$，选 A。
对其他选项，可取四个等可能样本点 $\Omega =\{1,2,3,4\}$，$A=\{1,2,3\},B=\{1,2\}$。此时 $P(A)=\frac{3}{4},P(B)=\frac{1}{2},P(A\mid B)=1$，满足题设；但 $P(A\mid \overline{B})=\frac{1}{2}\ne 0$，$P(A\cup B)=\frac{3}{4}\ne 1$，$P(B\mid A)=\frac{2}{3}\ne 1$，所以 B、C、D 均不保证成立。
注意 $P(\overline{A}B)=0$ 只说明 $B$ 在概率意义下包含于 $A$，不能在一般概率空间中直接断言差集为空。