真题库

设$D$是第一象限由曲线$2xy=1,4xy=1$与直线$y=x,y=\sqrt{3}x$围成的平面区域，函数$f(x,y)$在$D$上连续，则${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$（　　）。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& a\\ 1& 4& a^2\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}1\\ d\\ d^2\end{array}\right)$。若集合$\Omega =\{1,2\}$，则线性方程组$Ax=b$有无穷多解的充分必要条件为（　　）。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)$在正交变换$x=Py$下的标准形为$2y_1^2+y_2^2-y_3^2$，其中$P=(e_1,e_2,e_3)$。若$Q=(e_1,-e_3,e_2)$，则在正交变换$x=Qy$下的标准形为（　　）。

若$A,B$为任意两个随机事件，则（　　）。

设随机变量$X,Y$不相关，且$EX=2,EY=1,DX=3$，则$E[X(X+Y-2)]=$（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \cos x}{x^2}=$ 。

${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|)\mathrm{d}x=$ 。

若函数$z=z(x,y)$由方程${\mathrm{e}}^z+xyz+x+\cos x=2$确定，则$\mathrm{d}z{|}_{(0,1)}=$ 。

设$\Omega$是由平面$x+y+z=1$与三个坐标平面所围成的空间区域，则${\iiint }_{\Omega }(x+2y+3z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=$ 。

$n$阶行列式$\left|\begin{array}{ccccc}2& 0& \cdots & 0& 2\\ -1& 2& \cdots & 0& 2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 2& 2\\ 0& 0& \cdots & -1& 2\end{array}\right|=$ 。

设二维随机变量$(X,Y)$服从正态分布$N(1,0;1,1,0)$，则$P\{XY-Y<0\}=$ 。

设函数$f(x)=x+a\ln (1+x)+bx\sin x,g(x)=k{x}^3$，若$f(x)$与$g(x)$在$x\to 0$时是等价无穷小，求$a,b,k$的值。

设函数$f(x)$在定义域$I$上的导数大于零。若对任意$x_0\in I$，曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线与直线$x=x_0$及$x$轴所围区域的面积恒为4，且$f(0)=2$，求$f(x)$的表达式。

已知函数$f(x,y)=x+y+xy$，曲线$C:x^2+y^2+xy=3$，求$f(x,y)$在曲线$C$上的最大方向导数。

已知曲线$L:\{\begin{array}{l}z=\sqrt{2-x^2-y^2},\\ z=x,\end{array}$起点为$A(0,\sqrt{2},0)$，终点为$B(0,-\sqrt{2},0)$，计算曲线积分${\int }_L(y+z)\mathrm{d}x+(z^2-x^2+y)\mathrm{d}y+x^2{y}^2\mathrm{d}z$。

设向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为$R^3$的一个基，${\beta }_1=2{\alpha }_1+2k{\alpha }_3,{\beta }_2=2{\alpha }_2,{\beta }_3={\alpha }_1+(k+1){\alpha }_3$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -3\\ -1& 3& -3\\ 1& -2& a\end{array}\right)$相似于矩阵$B=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 3& 1\end{array}\right)$。

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{-x}\ln 2,& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}$。对$X$进行独立重复观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记$Y$为观测次数。

设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-\theta },& \theta \le x\le 1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$，其中$\theta$为未知参数，$x_1,x_2,\dots ,x_n$为来自该总体的简单随机样本。