真题库

下列反常积分收敛的是（　　）。

函数$f(x)=\underset{t\to 0}{\lim }(1+\frac{\sin t}{x}{)}^{\frac{x^2}{t}}$在$(-\infty ,+\infty )$内（　　）。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{\alpha }\cos \frac{1}{x^{\beta }},& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}$其中$\alpha >0,\beta >0$。若$f^{\prime }(x)$在$x=0$处连续，则（　　）。

设函数$f(u,v)$满足$f(x+y,\frac{y}{x})=x^2-y^2$，则$\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{u=1,v=1}$与$\frac{\partial f}{\partial v}{|}_{u=1,v=1}$依次是（　　）。

设$x=\arctan t,y=3t+t^3$，则$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{t=1}=$ 。

函数$f(x)=x^2\cdot 2^x$在$x=0$处的$n$阶导数$f^{(n)}(0)=$ 。

设$f(x)$连续，$\phi (x)={\int }_0^{x^2}xf(t)\mathrm{d}t$。若$\phi (1)=1,{\phi }^{\prime }(1)=5$，则$f(1)=$ 。

设函数$y=y(x)$是微分方程$y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=0$的解，且在$x=0$处$y(x)$取得极值$3$，则$y(x)=$ 。

若函数$z=z(x,y)$由方程${\mathrm{e}}^{x+2y+3z}+xyz=1$确定，则$\mathrm{d}z{|}_{(0,0)}=$ 。

若$3$阶矩阵$A$的特征值为$2,-2,1$，$B=A^2-A+E$，其中$E$为$3$阶单位阵，则行列式$|B|=$ 。

设$A>0$，$D$是由曲线段$y=A\sin x(0\le x\le \frac{\pi }{2})$及直线$y=0,x=\frac{\pi }{2}$所围成的平面区域。$V_1,V_2$分别表示$D$绕$x$轴与绕$y$轴旋转成旋转体的体积；若$V_1=V_2$，求$A$的值。

已知函数$f(x,y)$满足$f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)=2(y+1){\mathrm{e}}^x,f_x^{\prime }(x,0)=(x+1){\mathrm{e}}^x,f(0,y)=y^2+2y$，求$f(x,y)$的极值。

计算二重积分${\iint }_{D}x(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2,y\ge x^2\}$。

已知函数$f(x)={\int }_x^1\sqrt{1+t^2}\mathrm{d}t+{\int }_1^{x^2}\sqrt{1+t}\mathrm{d}t$，求$f(x)$的零点个数。

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为$120{}^{\circ }\mathrm{C}$的物体在$20{}^{\circ }\mathrm{C}$的恒温介质中冷却，$30\min$后该物体降至$30{}^{\circ }\mathrm{C}$。若要将该物体的温度继续降至$21{}^{\circ }\mathrm{C}$，还需冷却多长时间？

已知函数$f(x)$在区间$[a,+\infty )$上具有$2$阶导数，$f(a)=0,f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)>0$。设$b>a$，曲线$y=f(x)$在点$(b,f(b))$处的切线与$x$轴的交点是$(x_0,0)$，证明$a<x_0<b$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 1& a& -1\\ 0& 1& a\end{array}\right)$且$A^3=O$。

设$\{x_n\}$是数列，下列命题中不正确的是（　　）。

设$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2x,x^2+y^2\le 2y\}$，函数$f(x,y)$在$D$上连续，则${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$（　　）。

下列级数中发散的是（　　）。