真题库

设总体$X\sim B(m,\theta )$，$X_1,X_2,\dots ,X_n$为来自该总体的简单随机样本，$\overline{X}$为样本均值，则$E[\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2]=$（　　）。

为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设$Q$为该商品的需求量，$P$为价格，$MC$为边际成本，$\eta$为需求弹性（$\eta >0$）。

下列曲线有渐近线的是（　　）。

设函数$f(x)$具有二阶导数，$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x$，则在区间$[0,1]$上（　　）。

设$f(x,y)$是连续函数，则${\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{-\sqrt{1-y^2}}^{1-y}f(x,y)\mathrm{d}x=$（　　）。

若${\int }_{-\pi }^{\pi }(x-a_1\cos x-b_1\sin x{)}^2\mathrm{d}x={\min }_{a,b\in \mathbb{R}}\{{\int }_{-\pi }^{\pi }(x-a\cos x-b\sin x{)}^2\mathrm{d}x\}$，则$a_1\cos x+b_1\sin x=$（　　）。

行列式$\left|\begin{array}{cccc}0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d\end{array}\right|=$（　　）。

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$均为 3 维向量，则对任意常数$k,l$，向量组${\alpha }_1+k{\alpha }_3,{\alpha }_2+l{\alpha }_3$线性无关是向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关的（　　）。

设随机事件$A$与$B$相互独立，且$P(B)=0.5,P(A-B)=0.3$，则$P(B-A)=$（　　）。

设连续型随机变量$X_1,X_2$相互独立，且方差均存在，$X_1,X_2$的概率密度分别为$f_1(x),f_2(x)$，随机变量$Y_1$的概率密度为$f_{Y_1}(y)=\frac{1}{2}[f_1(y)+f_2(y)]$，随机变量$Y_2=\frac{1}{2}(X_1+X_2)$，则（　　）。

曲面$z=x^2(1-\sin y)+y^2(1-\sin x)$在点$(1,0,1)$处的切平面方程为 。

设$f(x)$是周期为 4 的可导奇函数，且$f^{\prime }(x)=2(x-1),x\in [0,2]$，则$f(7)=$ 。

微分方程$x{y}^{\prime }+y(\ln x-\ln y)=0$满足条件$y(1)={\mathrm{e}}^3$的解为$y=$ 。

设$L$是柱面$x^2+y^2=1$与平面$y+z=0$的交线，从$z$轴正向往$z$轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分${\oint }_{L}z\mathrm{d}x+y\mathrm{d}z=$ 。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+2a{x}_1{x}_3+4x_2{x}_3$的负惯性指数是 1，则$a$的取值范围为 。

设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{2x}{3{\theta }^2},& \theta <x<2\theta ,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$，其中$\theta$是未知参数，$X_1,X_2,\dots ,X_n$为来自总体$X$的简单样本。若$c\sum _{i=1}^n{X}_i^2$是${\theta }^2$的无偏估计，则$c=$ 。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_1^x[t^2({\mathrm{e}}^{\frac{1}{t}}-1)-t]\mathrm{dt}}{x^2\ln (1+\frac{1}{x})}$。

设函数$y=f(x)$由方程$y^3+x{y}^2+x^{2}y+6=0$确定，求$f(x)$的极值。

设函数$f(u)$具有二阶连续导数，$z=f({\mathrm{e}}^x\cos y)$满足$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=(4z+{\mathrm{e}}^x\cos y){\mathrm{e}}^{2x}$。若$f(0)=0,f^{\prime }(0)=0$，求$f(u)$的表达式。

设$\Sigma$为曲面$z=x^2+y^2(z\le 1)$的上侧，计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }(x-1{)}^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y-1{)}^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。