2014 · 数学一 · 第 8 题 · 选择题

记 $E (X_{i}) = μ_{i}, Var (X_{i}) = σ_{i}^{2}$ 。连续型变量不能几乎处处为常数，故在方差存在的前提下 $σ_{i}^{2} > 0$ 。
由混合密度的一、二阶矩积分，

E (Y_{1}) = \frac{μ _{1} + μ _{2}}{2},

E (Y_{1}^{2}) = \frac{σ _{1}^{2} + μ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} + μ _{2}^{2}}{2} .

而 $Y_{2} = \frac{( X _{1} + X _{2} )}{2}$ ，由期望线性性及独立性，

E (Y_{2}) = \frac{μ _{1} + μ _{2}}{2}, Var (Y_{2}) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2}}{4} .

所以两者期望相等。对 $Y_{1}$ ，

Var (Y_{1}) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} + μ _{1}^{2} + μ _{2}^{2}}{2} - \frac{( μ _{1} + μ _{2} ) ^{2}}{4} = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2}}{2} + \frac{( μ _{1} - μ _{2} ) ^{2}}{4} .

两方差之差为

Var (Y_{1}) - Var (Y_{2}) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} + ( μ _{1} - μ _{2} ) ^{2}}{4} > 0.

故选 D。严格大于由两原变量的正方差保证，即使均值相同也成立。密度的平均不等于变量平均的密度，例如两原变量都是独立标准正态时， $Y_{1}$ 的方差为 $1$ ， $Y_{2}$ 的方差为 $\frac{1}{2}$ 。

答案