方程组有无穷多解的充要条件为 $r(A)=r(A,b)<3$。
（1）系数矩阵为范德蒙型，

若 $a\notin \Omega$，则 $|A|\ne 0$，方程组有唯一解。因此无穷多解必须要求 $a\in \Omega$，即 $a=1$ 或 $a=2$。
（2）当 $a\in \Omega$ 时，第三列与前两列之一重复，而前两列 $(1,1,1{)}^T$、$(1,2,4{)}^T$ 线性无关，故 $r(A)=2$。方程组有解当且仅当 $b$ 可由这两列线性表示，也就是

这等价于 $d\in \Omega$。此时 $r(A)=r(A,b)=2<3$，有一个自由未知量，确有无穷多解。
所以充要条件为 $a\in \Omega ,d\in \Omega$，选 D。A、B 给出唯一解；C 中 $r(A,b)=3>r(A)=2$，无解。