真题库

设二阶可导函数$f(x)$满足$f(1)=f(-1)=1$，$f(0)=-1$，且$f^{\prime \prime }(x)>0$，则（　　）。

设数列$\{x_n\}$收敛，则（　　）。

微分方程$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+8y={\mathrm{e}}^{2x}(1+\cos 2x)$的特解可设为$y^{\ast }=$（　　）。

设$f(x,y)$具有一阶偏导数，且对任意的$(x,y)$，都有$f_x(x,y)>0,f_y(x,y)<0$，则（　　）。

设$A$为$3$阶矩阵，$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$为可逆矩阵，使得$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，则$A({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=$（　　）。

曲线$y=x(1+\arcsin \frac{2}{x})$的斜渐近线方程为 。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=t+{\mathrm{e}}^t\\ y=\sin t\end{array}$确定，则$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{t=0}=$ 。

${\int }_0^{+\infty }\frac{\ln (1+x)}{(1+x{)}^2}\mathrm{d}x=$ 。

设函数$f(x,y)$具有一阶连续偏导数，且$\mathrm{d}f(x,y)=y{\mathrm{e}}^y\mathrm{d}x+x(1+y){\mathrm{e}}^y\mathrm{d}y$，$f(0,0)=0$，则$f(x,y)=$ 。

${\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_y^1\frac{\tan x}{x}\mathrm{d}x=$ 。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 2& a\\ 3& 1& -1\end{array}\right)$的一个特征向量为$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$，则$a=$ 。

求极限$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_0^x\sqrt{x-t}{\mathrm{e}}^t\mathrm{dt}}{\sqrt{x^3}}$。

已知平面区域$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2y\}$，计算二重积分${\iint }_D(x+1{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设$y(x)$是区间$(0,\frac{3}{2})$内的可导函数，且$y(1)=0$。点$P$是曲线$L:y=y(x)$上的任意一点。$L$在$P$处的切线与$y$轴相交于点$(0,Y_P)$，法线与$x$轴相交于点$(X_P,0)$。若$X_P=Y_P$，求$L$上点的坐标$(x,y)$满足的方程。

二元函数$z=xy(3-x-y)$的极值点是（　　）。

若级数$\sum _{n=2}^{\infty }[\sin \frac{1}{n}-k\ln (1-\frac{1}{n})]$收敛，则$k=$（　　）。

设$A,B,C$为三个随机事件，且$A$与$C$相互独立，$B$与$C$相互独立，则$A\cup B$与$C$相互独立的充要条件是（　　）。

${\int }_{-\pi }^{\pi }({\sin }^{3}x+\sqrt{{\pi }^2-x^2})\mathrm{d}x=$ 。

差分方程$y_{t+1}-2y_t=2^t$的通解为$y_t=$ 。

设生产某产品的平均成本$\overline{C}(Q)=1+{\mathrm{e}}^{-Q}$，其中$Q$为产量，则边际成本为 。