由分配律、加法公式及题给独立性，

而

两式相等当且仅当 $P(ABC)=P(AB)P(C)$，即 $AB$ 与 $C$ 相互独立。各步均为等价变形，故选 C。
A 既不充分也不必要。不充分的反例：独立掷两枚均匀硬币，令 $A$ 为第一枚正面，$B$ 为第二枚正面，$C$ 为两枚朝向相同。三事件概率均为 $\frac{1}{2}$，且两两独立，但 $P((A\cup B)C)=\frac{1}{4}$，而 $P(A\cup B)P(C)=(\frac{3}{4})(\frac{1}{2})=\frac{3}{8}$，故并事件与 $C$ 不独立。不必要的反例：取 $B=A,P(A)=\frac{1}{2}$，并令 $A$ 与 $C$ 独立，则 $A\cup B=A$ 与 $C$ 独立，但 $P(AB)=\frac{1}{2}\ne \frac{1}{4}=P(A)P(B)$。
B 充分但不必要。若 $AB=\varnothing$，则 $P(ABC)=0=P(AB)P(C)$，满足充要条件；但上述 $B=A,P(A)=\frac{1}{2}$ 的例子中 $A,B$ 不互斥，并事件仍与 $C$ 独立。
D 既不充分也不必要。不充分的反例：仍取两枚独立均匀硬币及上述 $A,B$，改令 $C$ 为两枚朝向相反。此时 $P(AC)=P(BC)=\frac{1}{4}$，故分别满足与 $C$ 独立，且 $ABC=\varnothing$；然而 $P((A\cup B)C)=\frac{1}{2}\ne \frac{3}{8}=P(A\cup B)P(C)$。不必要的反例：取 $B=A$，$A$ 与 $C$ 独立且概率均为 $\frac{1}{2}$，则并事件与 $C$ 独立，但 $P(ABC)=P(AC)=\frac{1}{4}>0$，所以 $AB$ 与 $C$ 不互斥。