真题库

甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方$10\mathrm{m}$处，图中实线表示甲的速度曲线$v=v_1(t)$（单位：m/s），虚线表示乙的速度$v=v_2(t)$，三块阴影部分面积的数值依次为 10、20、3，计时开始后乙追上甲的时刻记为$t_0$（单位：s），则（　　）。

设$\alpha$是$n$维单位列向量，$E$为$n$阶单位矩阵，则（　　）。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，则（　　）。

设$A,B$为随机事件，若$0<P(A)<1,0<P(B)<1$，则$P(A|B)>P(A|\bar{B})$的充分必要条件是（　　）。

设$X_1,X_2,\cdots ,X_n(n\ge 2)$为来自总体$N(\mu ,1)$的简单随机样本，记$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$，则下列结论中不正确的是（　　）。

已知函数$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，则$f^{(3)}(0)=$ 。

微分方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+3y=0$的通解为$y=$ 。

若曲线积分${\int }_L\frac{x\mathrm{dx}-ay\mathrm{dy}}{x^2+y^2-1}$在区域$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}$内与路径无关，则$a=$ 。

幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}n{x}^{n-1}$在区间$(-1,1)$内的和函数$S(x)=$ 。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为线性无关的$3$维列向量组，则向量组$A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3$的秩为 。

设随机变量$X$的分布函数为$F(x)=0.5\Phi (x)+0.5\Phi (\frac{x-4}{2})$，其中$\Phi (x)$为标准正态分布函数，则$E(X)=$ 。

设函数$f(u,v)$具有$2$阶连续偏导数，$y=f({\mathrm{e}}^x,\cos x)$，求$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}{|}_{x=0}$及$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{x=0}$。

求$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}\ln (1+\frac{k}{n})$。

已知函数$y(x)$由方程$x^3+y^3-3x+3y-2=0$确定，求$y(x)$的极值。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上具有二阶导数，且$f(1)>0$，$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x}<0$。证明：

设薄片型物体$S$是圆锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$被柱面$z^2=2x$割下的有限部分，其上任一点的密度为$\mu =9\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，记圆锥面与柱面的交线为$C$。

设$3$阶矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$有$3$个不同的特征值，且${\alpha }_3={\alpha }_1+2{\alpha }_2$。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2-x_2^2+a{x}_3^2+2x_1{x}_2-8x_1{x}_3+2x_2{x}_3$在正交变换$x=Qy$下的标准型为${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2$。

设随机变量$X,Y$相互独立，且$P(X=0)=P(X=2)=\frac{1}{2}$，$Y$的概率密度为$f(y)=\{\begin{array}{ll}2y,& 0<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做$n$次测量，该物体的质量$\mu$是已知的。设$n$次测量结果$X_1,X_2,\cdots ,X_n$相互独立且均服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$。该工程师记录的是$n$次测量的绝对误差$Z_i=|X_i-\mu |(i=1,2,\cdots ,n)$，利用$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_n$估计$\sigma$。