真题库

曲线$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t\\ y={\sin }^{3}t\end{array}$在$t=\frac{\pi }{4}$对应点的曲率为 。

设函数$z=z(x,y)$由方程$\ln z+{\mathrm{e}}^{z-1}=xy$确定，则$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(2,\frac{1}{2})}=$ 。

设$A$为$3$阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为线性无关的向量组，若$A{\alpha }_1=2{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$，$A{\alpha }_2={\alpha }_2+2{\alpha }_3$，$A{\alpha }_3=-{\alpha }_2+{\alpha }_3$，则$A$的实特征值为 。

已知连续函数$f(x)$满足${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t=a{x}^2$。

设平面区域$D$由曲线$\{\begin{array}{l}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{array}(0\le t\le 2\pi )$与$x$轴围成，计算二重积分${\iint }_D(x+2y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知常数$k\ge \ln 2-1$，证明：$(x-1)(x-{\ln }^{2}x+2k\ln x-1)\ge 0$。

已知曲线$L:y=\frac{4}{9}{x}^2(x\ge 0)$，点$O(0,0)$，点$A(0,1)$。设$P$是$L$上的动点，$S$是直线$OA$与直线$AP$及曲线$L$所围图形的面积。若$P$运动到$(3,4)$时沿$x$轴正向的速度是$4$，求此时$S$关于时间$t$的变化率。

某产品的成本函数$C(Q)$可导，其中$Q$为产量，若产量为$Q_0$时平均成本最小，则（　　）。

设$X_1,\dots ,X_n$（$n\ge 2$）为来自总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的简单随机样本。令$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$，$S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2}$，$S^{\ast }=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}$，则下列结论正确的是（　　）。

求解$\int {\mathrm{e}}^x\arcsin \sqrt{1-{\mathrm{e}}^{2x}}\mathrm{d}x=$ 。

差分方程${\Delta }^2{y}_x-y_x=5$的解为 。

设函数$f(x)$满足$f(x+\Delta x)-f(x)=2xf(x)\Delta x+o(\Delta x)$，且$f(0)=2$，则$f(1)=$ 。

设$A$为$3$阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$是线性无关的向量组。若$A{\alpha }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2$，$A{\alpha }_2={\alpha }_2+{\alpha }_3$，$A{\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_3$，则$|A|=$ 。

已知事件$A,B,C$相互独立，且$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$，则$P(A\cap C\mid A\cup B)=$ 。

已知实数$a,b$满足$\underset{x\to +\infty }{\lim }[(ax+b){\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}-x]=2$，求$a,b$。

设平面区域$D$由曲线$y=\sqrt{3(1-x^2)}$与直线$y=\sqrt{3}x$及$y$轴围成，计算二重积分${\iint }_D{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知$\cos 2x-\frac{1}{(1+x{)}^2}=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n(-1<x<1)$，求$a_n$。

若函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{ax},& x>0\\ b,& x\le 0\end{array}$在$x=0$处连续，则（　　）。

若函数$f(x)$可导，且$f(x)f^{\prime }(x)>0$，则（　　）。

函数$f(x,y,z)=x^{2}y+z^2$在点$(1,2,0)$处沿向量$u=(1,2,2)$的方向导数为（　　）。