真题库

设$F(x,y,z)=xy\vec{i}-yz\vec{j}+zx\vec{k}$，则$\mathrm{rot}\vec{F}(1,1,0)=$ 。

设$L$为球面$x^2+y^2+z^2=1$与平面$x+y+z=0$的交线，则${\oint }_{L}xy\mathrm{d}s=$ 。

设$2$阶矩阵$A$有两个不同特征值，${\alpha }_1,{\alpha }_2$是$A$的线性无关的特征向量，且满足$A^2({\alpha }_1+{\alpha }_2)={\alpha }_1+{\alpha }_2$，则$|A|=$ 。

设随机事件$A$与$B$相互独立，$A$与$C$相互独立，$B\cap C=\varnothing$，若$P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$，$P(A\cap C\mid A\cap B\cup C)=\frac{1}{4}$，则$P(C)=$ 。

求不定积分$\int {\mathrm{e}}^{2x}\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}x$。

将长为$2m$的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

设$\Sigma$是曲面$x=\sqrt{1-3y^2-3z^2}$的前侧，计算曲面积分${\iint }_{\Sigma }x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y^3+z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知微分方程$y^{\prime }+y=f(x)$，其中$f(x)$是$\mathbb{R}$上的连续函数。

设数列$\{x_n\}$满足：$x_1>0$，$x_n{\mathrm{e}}^{x_{n+1}}={\mathrm{e}}^{x_n}-1(n=1,2,\cdots )$。

设实二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2+(x_1+a{x}_3{)}^2$，其中$a$是参数。

已知$a$是常数，且矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& a\\ 1& 3& 0\\ 2& 7& -a\end{array}\right)$可经初等列变换化为矩阵$B=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 2\\ 0& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$。

已知随机变量$X,Y$相互独立，且$P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2}$，$Y$服从参数为$\lambda$的泊松分布，令$Z=XY$。

设$X$的概率密度为$f(x,\sigma )=\frac{1}{2\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{|x|}{\sigma }},-\infty <x<+\infty$，其中$\sigma \in (0,+\infty )$为未知参数，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本，记$\sigma$的最大似然估计量为$\hat{\sigma }$。

若$\underset{x\to 0}{\lim }({\mathrm{e}}^x+a{x}^2+bx{)}^{\frac{1}{x^2}}=1$，则（　　）。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ 1,& x\ge 0\end{array}$，$g(x)=\{\begin{array}{ll}2-ax,& x\le -1\\ x,& -1<x<0\\ x-b,& x\ge 0\end{array}$。若$f(x)+g(x)$在$\mathbb{R}$上连续，则（　　）。

设函数$f(x)$在$[0,1]$上二阶可导，且${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$，则（　　）。

${\int }_{-1}^0\mathrm{d}x{\int }_{-x}^{2-x^2}(1-xy)\mathrm{d}y+{\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^{2-x^2}(1-xy)\mathrm{d}y=$（　　）。

$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2[\arctan (x+1)-\arctan x]=$ 。

曲线$y=x^2+2\ln x$在其拐点处的切线方程是 。

${\int }_5^{+\infty }\frac{1}{x^2-4x+3}\mathrm{d}x=$ 。