被积函数的定义域为 $x\ge 0$，在 $x>0$ 上令 $t=\sqrt{e^x-1}$，则 $e^x=1+t^2$、$\mathrm{d}x=\frac{2t}{1+t^2}\mathrm{d}t$。于是

$$I=\int e^{2x}\arctan \sqrt{e^x-1}\mathrm{d}x=\int (2t^3+2t)\arctan t\mathrm{d}t.$$

分部积分取 $u=\arctan t$、$\mathrm{d}v=(2t^3+2t)\mathrm{d}t$，则 $v=\frac{t^4}{2}+t^2$，$\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}$，所以

$$I=\left(\frac{t^4}{2}+t^2\right)\arctan t-\int \frac{\frac{t^4}{2}+t^2}{1+t^2}\mathrm{d}t.$$

利用 $t^4+2t^2=(1+t^2{)}^2-1$，有

$$\begin{array}{rl}\int \frac{\frac{t^4}{2}+t^2}{1+t^2}\mathrm{d}t& =\frac{1}{2}\int \left(t^2+1-\frac{1}{1+t^2}\right)\mathrm{d}t\\ & =\frac{t^3}{6}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\arctan t+C.\end{array}$$

代回并合并，$\frac{t^4}{2}+t^2+\frac{1}{2}=\frac{(1+t^2{)}^2}{2}=\frac{e^{2x}}{2}$，且 $\frac{t^3}{6}+\frac{t}{2}=(e^x+2)\frac{\sqrt{e^x-1}}{6}$，故

$$I=\frac{e^{2x}}{2}\arctan \sqrt{e^x-1}-\frac{(e^x+2)\sqrt{e^x-1}}{6}+C.$$

分部时也可直接取 $v=\frac{(1+t^2{)}^2}{2}$，其导数仍为 $2t^3+2t$，而 $\frac{v}{(1+t^2)}=\frac{(1+t^2)}{2}$，可直接得到 $I=(1+t^2{)}^2\frac{\arctan t}{2}-\frac{t^3}{6}-\frac{t}{2}+C$。
求导复核：记 $t=\sqrt{e^x-1}$，则 $(\arctan t{)}^{\prime }=\frac{1}{(2t)}$。最终式第一项导数为原被积函数加 $\frac{e^{2x}}{(4t)}$，第二项导数为 $-\frac{e^{2x}}{(4t)}$，附加项抵消。