A 项：各 $X_i-\mu$ 相互独立并服从 $N(0,1)$，由卡方分布定义，$\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$，正确。
B 项：$n\ge 2$ 保证 $X_n,X_1$ 是不同的独立样本。其差服从 $N(0,2)$，所以

题中给的量却是 $2(X_n-X_1{)}^2=4Q$。它的期望为 $4$、方差为 $32$。若它服从某个 ${\chi }^2(k)$，期望要求 $k=4$，方差却要求 $2k=32$，矛盾。因此 B 不正确。
C 项：正态样本离差平方和的抽样分布给出

因为总体方差为 $1$。自由度为 $n-1$，C 正确。
D 项：$\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{1}{n})$，故 $\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )\sim N(0,1)$，平方后有 $n(\overline{X}-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(1)$，D 正确。
题目要求选出不正确的结论，故选 B。仅有平方形式不足以判定卡方分布，还必须核对标准化系数。