2025 · 数学三 · 第 21 题 · 解答题

设矩阵

A = 1 - 1 1 - 1 01 3 - 2 a 0 - a 2 - 1 - 1 3

的秩为2。

(1) 求 $a$ 的值；
(2) 求 $A$ 的列向量组的一个极大线性无关组 $α$ 、 $β$ ，并求矩阵 $H$ ，使 $A = G H, G = (α, β)$ 。

答案

第 1 问

$a = 1$ 。

第 2 问

$α = (1, - 1, 1)^{T}, β = (- 1, 0, 1)^{T}$ ， $H = (1001 2 - 1 1112)$ 。

查看解析展开

第 1 问

对 $A$ 作 $r_{2} \leftarrow r_{2} + r_{1}$ 、 $r_{3} \leftarrow r_{3} - r_{1}$ ，再作 $r_{3} \leftarrow r_{3} + 2 r_{2}$ ，得

A ⟶ 100 - 1 - 1 0 31 a - 1 0 - a 2 - 2 a - 1 - 2 0 .

前两行恒有不同的主元位置，所以秩至少为 $2$ 。秩恰为 $2$ 要求第三行全零，即 $a - 1 = 0, 2 - 2 a = 0$ ，共同给出 $a = 1$ 。

第 2 问

令 $a = 1$ ，在上一问阶梯形中将第二行乘 $- 1$ ，再加到第一行，得

F = 100010 2 - 1 0 110120 .

主元在第一、二列，故取原矩阵的第一、二列 $α = (1, - 1, 1)^{T}, β = (- 1, 0, 1)^{T}$ ，构成极大线性无关组。初等行变换保持列之间的线性关系，由 $F$ 得原矩阵第三、四、五列分别为 $2 α - β, α + β, α + 2 β$ 。
将五列表示系数依次排成矩阵，得

G = (α, β), H = (1001 2 - 1 1112) .

于是 $G H = (α, β, 2 α - β, α + β, α + 2 β) = A$ ，所求分解成立。要从原矩阵取主元对应列，而不是把行最简形的列当作原向量。