（1）化简 $f(x)$。在第一个行列式中作 $r_1\to r_1-r_3$、$r_2\to r_2-r_4$，前两行都变为 $(0,1,0,0)$。行列式有两行相同，故 $f(x)\equiv 0$，原方程等价于 $g(x)=0$。

（2）化简 $g(x)$。同样先作 $r_1\to r_1-r_3$、$r_2\to r_2-r_4$，前两行分别成为 $(2x+1,0,0,1)$、$(3x+1,0,0,1)$；再作 $r_2\to r_2-r_1$，得

按第二行展开，唯一可能非零的元素位于 $(2,1)$，符号为负；再按三阶行列式第一行展开，得

（3）解方程。$g(x)=0$ 等价于 $x=0$ 或 $x=-\frac{1}{4}$，两根为互异实数，因此不同实根的个数为 $2$。变换中未除以 $x$，所以没有遗漏零根。