1995 · 数学三 · 第 5 题 · 填空题

设

n \geq 2

为整数，

σ^{2} > 0

。设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，其中参数

μ

和

σ^{2}

未知。记

X = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

，

Q = i = 1 \sum n (X_{i} - X)^{2}

，对

Q > 0

的样本，则假设

H_{0} : μ = 0

的

t

检验使用统计量

t =

。

答案

$\frac{n ( n - 1 ) X}{Q}$

记样本标准差为

S = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - X)^{2} = \frac{Q}{n - 1} .

由 $n \geq 2$ 、 $Q > 0$ ，此处 $S > 0$ 。

正态总体简单随机样本的均值检验使用统计量

t = \frac{X - 0}{\frac{S}{n}} = \frac{n ( n - 1 ) X}{Q} .

在 $H_{0}$ 下，它服从自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布。