1992 · 数学三 · 第 21 题 · 解答题

一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为

0.10, 0.20, 0.30

。假设各部件的状态相互独立，以

X

表示同时需要调整的部件数。

(1) 求 $X$ 的概率分布；
(2) 求数学期望 $E (X)$ ；
(3) 求方差 $D (X)$ 。

答案

第 1 问

$P (X = 0) = 0.504, P (X = 1) = 0.398, P (X = 2) = 0.092, P (X = 3) = 0.006$

第 2 问

$E (X) = 0.6$

第 3 问

$D (X) = 0.46$

解析

第 1 问

记三个部件需要调整的概率为 $p_{1} = 0.1, p_{2} = 0.2, p_{3} = 0.3$ 。由独立性，

P (X = 0) = 0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.7 = 0.504, P (X = 3) = 0.1 \cdot 0.2 \cdot 0.3 = 0.006.

恰有一个需要调整的概率为

0.1 \cdot 0.8 \cdot 0.7 + 0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.7 + 0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.3 = 0.398.

恰有两个需要调整的概率为

0.1 \cdot 0.2 \cdot 0.7 + 0.1 \cdot 0.8 \cdot 0.3 + 0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.3 = 0.092.

第 2 问

沿用第一问中三个部件需要调整的概率 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 。令 $I_{i}$ 在第 $i$ 个部件需要调整时取 $1$ ，否则取 $0$ ，则 $X = I_{1} + I_{2} + I_{3}$ ，故 $E (X) = p_{1} + p_{2} + p_{3} = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6$ 。

第 3 问

沿用第二问定义的示性变量及第一问的概率，三个示性变量相互独立，故

D (X) = i = 1 \sum 3 p_{i} (1 - p_{i}) = 0.1 \cdot 0.9 + 0.2 \cdot 0.8 + 0.3 \cdot 0.7 = 0.46.