真题库

求证：方程$x+p+q\cos x=0$恰有一个实根，其中$p,q$为常数，且$0<q<1$。

设矩阵$A$与$B$相似，其中$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 2& x& 2\\ 3& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& y\end{array}\right)$。

求微分方程$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=x{\mathrm{e}}^x$的通解。

给定曲线$y=\frac{1}{x^2}$。

已知三阶矩阵$B\ne 0$，且$B$的每一个列向量都是以下方程组的解：$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-2x_3=0\\ 2x_1-x_2+\lambda x_3=0\\ 3x_1+x_2-x_3=0\end{array}$。

设$A,B$为3阶方阵，$E$为3阶单位矩阵，满足$AB+E=A^2+B$，又知$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$，求矩阵$B$。

计算曲线$y=\ln (1-x^2)$上相对于$0\le x\le \frac{1}{2}$的一段弧的长度。

设线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-2x_3=0\\ 2x_1-x_2+\lambda x_3=0\\ 3x_1+x_2-x_3=0\end{array}$的系数矩阵为$A$，三阶矩阵$B\ne O$，且$AB=O$。试求$\lambda$的值。

求曲线$y=\sqrt{x}$的一条切线$l$，使该曲线与切线$l$及直线$x=0$、$x=2$所围成的平面图形面积最小。

设$A,B$分别为$m,n$阶正定矩阵，试判定分块矩阵$C=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)$是否为正定矩阵。

已知实矩阵$A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$满足条件：$A_{ij}=a_{ij}$（$i,j=1,2,3$），其中$A_{ij}$是$a_{ij}$的代数余子式；且$a_{11}\ne 0$。计算行列式$|A|$。

假设测量的随机误差$X\sim N(0,10^2)$。在$100$次独立重复测量中，以$\alpha$表示至少有三次测量误差的绝对值大于$19.6$的概率（要求小数点后取两位有效数字）。附表：

一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为$0.10,0.20,0.30$。假设各部件的状态相互独立，以$X$表示同时需要调整的部件数。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-y},& 0<x<y\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。

设$\{\begin{array}{l}x=1+t^2\\ y=\cos t\end{array}$，则$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=$ 。

由方程$xyz+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$所确定的函数$z=z(x,y)$在点$(1,0,-1)$处的全微分$\mathrm{d}z=$ 。

已知两条直线的方程是$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1}$；$L_2:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$，则过$L_1$且平行于$L_2$的平面方程是 。

已知当$x\to 0$时，$(1+a{x}^2{)}^{\frac{1}{3}}-1$与$\cos x-1$是等价无穷小，则常数$a=$ 。

设$4$阶方阵$A=\left(\begin{array}{cccc}5& 2& 0& 0\\ 2& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$，则$A$的逆矩阵$A^{-1}=$ 。

曲线$y=\frac{1+{\mathrm{e}}^{-x^2}}{1-{\mathrm{e}}^{-x^2}}$（　　）。