1992 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

计算曲线

y = ln (1 - x^{2})

上相对于

0 \leq x \leq \frac{1}{2}

的一段弧的长度。

答案

$ln 3 - \frac{1}{2}$

曲线导数为 $y^{'} = - \frac{2 x}{1 - x ^{2}}$ 。在 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 上，

1 + (y^{'})^{2} = 1 + \frac{4 x ^{2}}{( 1 - x ^{2} ) ^{2}} = \frac{1 + x ^{2}}{1 - x ^{2}} .

弧长为

L = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1 + x ^{2}}{1 - x ^{2}} d x = [- x + ln \frac{1 + x}{1 - x}]_{0}^{\frac{1}{2}} = ln 3 - \frac{1}{2} .