真题库

若连续函数$f(x)$满足关系式$f(x)={\int }_0^{2x}f(\frac{t}{2})\mathrm{d}t+\ln 2$，则$f(x)$等于（　　）。

已知级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n=2$，$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n-1}=5$，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$等于（　　）。

设$D$是$xOy$平面上以$(1,1),(-1,1),(-1,-1)$为顶点的三角形区域，$D_1$是$D$在第一象限的部分，则${\iint }_D(xy+\cos x\sin y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$等于（　　）。

设$n$阶方阵$A,B,C$满足关系式$ABC=E$，其中$E$是$n$阶单位阵，则必有（　　）。

求极限$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\cos \sqrt{x}{)}^{\frac{\pi }{x}}$。

设$\vec{n}$是曲面$2x^2+3y^2+z^2=6$在点$P(1,1,1)$处指向外侧的法向量。求函数$u=\frac{\sqrt{6x^2+8y^2}}{z}$在点$P$处沿方向$\vec{n}$的方向导数。

求${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z)\mathrm{d}V$，其中$\Omega$是由曲线$\{\begin{array}{l}{y}^2=2z\\ x=0\end{array}$绕$z$轴旋转一周而成的曲面与平面$z=4$所围成的立体。

在过点$O(0,0)$和$A(\pi ,0)$的曲线族$y=a\sin x$（$a>0$）中，求一条曲线$L$，使沿该曲线从$O$到$A$的积分${\int }_L(1+y^3)\mathrm{d}x+(2x+y)\mathrm{d}y$的值最小。

设函数$f(x)=2+|x|$（$-1\le x\le 1$）以$2$为周期延拓。

设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$3{\int }_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(0)$。证明在$(0,1)$内存在一点$c$，使$f^{\prime }(c)=0$。

已知${\alpha }_1=(1,0,2,3)$，${\alpha }_2=(1,1,3,5)$，${\alpha }_3=(1,-1,a+2,1)$，${\alpha }_4=(1,2,4,a+8)$，及$\beta =(1,1,b+3,5)$。

设$A$为$n$阶正定阵，$E$是$n$阶单位阵。证明$A+E$的行列式大于$1$。

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点$P(x,y)$处的曲率等于此曲线在该点的法线段$PQ$长度的倒数，其中$Q$是法线与$x$轴的交点，且曲线在点$(1,1)$处的切线与$x$轴平行。

若随机变量$X$服从均值为$2$、方差为${\sigma }^2$的正态分布，且$P\{2<X<4\}=0.3$，则$P\{X<0\}=$ 。

随机地向半圆$0<y<\sqrt{2ax-x^2}$（$a$为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比。则原点和该点的连线与$x$轴的夹角小于$\frac{\pi }{4}$的概率为 。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2{\mathrm{e}}^{-(x+2y)},& x>0,y>0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，求随机变量$Z=X+2Y$的分布函数。

计算反常积分${\int }_3^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{(x-1{)}^4\sqrt{x^2-2x}}$。

计算$I={\iint }_S-y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$S$是圆柱面$x^2+y^2=4$被平面$x+z=2$和$z=0$所截出部分的外侧。

设$z={\mathrm{e}}^{\sin (xy)}$，则$\mathrm{d}z=$ 。

设$y=\ln (1+3^{-x})$，则$\mathrm{d}y=$ 。