$a=-1,b\ne 0$

$a\ne -1,b\in \mathbb{R}$

$\beta =-\frac{2b}{a+1}{\alpha }_1+\frac{a+b+1}{a+1}{\alpha }_2+\frac{b}{a+1}{\alpha }_3+0{\alpha }_4(a\ne -1)$

以 ${\alpha }_i$ 为列组成矩阵。将第 2、3、4 列分别减第 1 列后，其行列式化为

只有 $a=-1$ 时可能无表示。此时各列张成 ${\alpha }_1$ 与 ${\alpha }_2-{\alpha }_1=(0,1,1,2)$ 的线性空间，而 $\beta -{\alpha }_1=(0,1,b+1,2)$。后者属于该空间当且仅当 $b=0$，故不能表示的条件为 $a=-1,b\ne 0$。

记 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$。唯一线性表示等价于四个列向量线性无关。由 $\det A=(a+1{)}^2$，当且仅当 $a\ne -1$ 时成立；此时任意实数 $b$ 均有唯一表示。

在 $a\ne -1$ 下写 $\beta ={\alpha }_1+u({\alpha }_2-{\alpha }_1)+v({\alpha }_3-{\alpha }_1)+w({\alpha }_4-{\alpha }_1)$。比较后 3 个分量得 $(a+1)v=b$、$(a+1)w=0$、$u-v=1$。

故 $v=\frac{b}{(a+1)}$、$w=0$、$u=\frac{(a+b+1)}{(a+1)}$，而 ${\alpha }_1$ 的系数为 $1-u-v-w=-\frac{2b}{(a+1)}$，因此