1992 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

假设测量的随机误差

X \sim N (0, 1 0^{2})

。在

100

次独立重复测量中，以

α

表示至少有三次测量误差的绝对值大于

19.6

的概率（要求小数点后取两位有效数字）。附表：

$λ$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$\dots$
$e^{- λ}$	$0.368$	$0.135$	$0.050$	$0.018$	$0.007$	$0.002$	$0.001$	$\dots$

答案

$α \approx 1 - 0.9 5^{100} - 100 \cdot 0.05 \cdot 0.9 5^{99} - (2 100) 0.0 5^{2} 0.9 5^{98} \approx 0.88$

$α \approx 0.87$

令 $Z = \frac{X}{10}$ ，则 $Z \sim N (0, 1)$ 。单次超出阈值的概率为 $p = P (∣ Z ∣ > 1.96) \approx 0.05$ 。令 $N$ 为 100 次测量中绝对误差大于 19.6 的次数，则 $N \sim B (100, p)$ 。

因此

α = P (N \geq 3) = 1 - k = 0 \sum 2 (k 100) p^{k} (1 - p)^{100 - k} \approx 1 - k = 0 \sum 2 (k 100) 0.0 5^{k} 0.9 5^{100 - k} \approx 0.8817.

取小数点后两位为 $0.88$ 。

沿用第一问的 $p \approx 0.05$ ，以 $λ = n p \approx 5$ 的泊松分布近似二项分布，则

α \approx 1 - e^{- 5} (1 + 5 + \frac{5 ^{2}}{2 !}) = 1 - 18.5 e^{- 5} .

按题中附表取 $e^{- 5} \approx 0.007$ ，得 $α \approx 0.8705$ ，取小数点后两位为 $0.87$ 。