取 $x_k=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，则 $f(x_k)=x_k\to +\infty$；取 $y_k=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$，则 $f(y_k)=-y_k\to -\infty$。

因此 $x\sin x$ 在全实轴上无界，而且当 $x\to +\infty$ 时既没有有限极限，也不趋于正无穷，故选 D。