1987 · 数学一 · 第 21 题 · 解答题

设随机变量

X

、

Y

相互独立，其概率密度函数分别为

f_{X} (x) = {1, 0, 0 \leq x \leq 1, 其它,

，

f_{Y} (y) = {e^{- y}, 0, y > 0, y \leq 0,

。求随机变量

Z = 2 X + Y

的概率密度函数。

答案

$f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{2} (1 - e^{- z}), \frac{1}{2} (e^{2 - z} - e^{- z}), z \leq 0, 0 < z \leq 2, z > 2.$

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令 $U = 2 X$ 。由于 $X$ 在 $[0, 1]$ 上均匀分布， $U$ 的密度为

f_{U} (u) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2}, 0, 0 \leq u \leq 2, 其他 .

且 $U$ 与 $Y$ 独立。

对 $Z = U + Y$ 作卷积。有效积分范围同时满足 $0 \leq u \leq 2$ 与 $z - u > 0$ ，所以

f_{Z} (z) = \frac{1}{2} \int_{0}^{m i n (2, z)} e^{- (z - u)} d u

（该式用于 $z > 0$ ； $z \leq 0$ 时密度为 0）。

当 $0 < z \leq 2$ 时，上限为 $z$ ，得到 $\frac{( 1 - e ^{- z} )}{2}$ ；当 $z > 2$ 时，上限为 2，得到 $\frac{( e ^{2 - z} - e ^{- z} )}{2}$ 。故

f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{2} (1 - e^{- z}), \frac{1}{2} (e^{2 - z} - e^{- z}), z \leq 0, 0 < z \leq 2, z > 2.