记 $T=\{(x,y)\in D:y\le x\}$。交换 $x,y$ 把 $T$ 变成正方形的另一半，且 $f(x,y)=f(y,x)$，故 ${\iint }_{T}f\mathrm{d}\sigma =\frac{1}{2}{\iint }_{D}f\mathrm{d}\sigma$。对角线面积为零，不影响积分。
选项 D 的网格步长为 $h=\frac{1}{(2n)}$，每格面积为 $\frac{1}{(4n^2)}$；条件 $1\le j\le i\le 2n$ 对应下三角形 $T$。函数连续有界，边界附近至多常数倍 $n$ 个网格，总面积为 $O(\frac{1}{n})$，故边界格的选择不影响黎曼和极限。因此

再乘选项前的 $\frac{1}{2}$，正好得到所求积分，故选 D。
其余选项分别如下。A 的步长为 $\frac{1}{n}$，指标 $i+j\ge n+1$ 对应 $U=\{(x,y)\in D:x+y\ge 1\}$，表达式极限为 $2{\iint }_{U}f\mathrm{d}\sigma$。题设对称性并不能保证该区域积分占一半。取 $f=x+y$，全正方形积分为 $1$，而 $U$ 面积为 $\frac{1}{2}$、形心为 $(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$，故 A 的值为 $2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{3}\ne 1$。
B 对应整个正方形的标准黎曼和，再乘 $\frac{1}{2}$，只有原积分的一半；取 $f=1$ 即不成立。C 的步长为 $\frac{1}{(2n)}$，但权重为格面积的 $4$ 倍，指标对应 $x+y\le 1$，再乘前面的 $2$，其值为该三角形积分的 $8$ 倍。取 $f=1$ 得 $8\cdot \frac{1}{2}=4\ne 1$，亦不成立。