任取 $x_1,x_2\in (a,b)$ 且 $x_1<x_2$。由于 $f$ 在 $(a,b)$ 内可导，它在 $[x_1,x_2]$ 上连续、在 $(x_1,x_2)$ 内可导。

由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1,x_2)$，使

因 $f^{\prime }(\xi )>0$ 且 $x_2-x_1>0$，所以 $f(x_2)>f(x_1)$。故 $f$ 在 $(a,b)$ 内严格单调增加。