1987 · 数学二 · 第 8 题 · 解答题

由 $u = x e^{y}$ ，有 $u_{x} = e^{y}$ 、 $u_{y} = x e^{y} = u$ 。先对 $y$ 求偏导：

z_{y} = f_{u} u_{y} + f_{y} = u f_{u} + f_{y} .

再对 $x$ 求偏导。沿复合关系 $u = x e^{y}$ ，

\frac{\partial f _{u}}{\partial x} \frac{\partial f _{y}}{\partial x} = f_{uu} u_{x} + f_{ux} = e^{y} f_{uu} + f_{ux}, = f_{y u} u_{x} + f_{y x} = e^{y} f_{u y} + f_{x y} .

这里使用了二阶偏导连续性，即 $f_{y u} = f_{u y}$ 、 $f_{y x} = f_{x y}$ 。

因此

z_{x y} = u_{x} f_{u} + u (e^{y} f_{uu} + f_{ux}) + e^{y} f_{u y} + f_{x y} .

代入 $u = x e^{y}$ 与 $u_{x} = e^{y}$ ，得到

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = x e^{2 y} f_{uu} + x e^{y} f_{ux} + e^{y} f_{u} + e^{y} f_{u y} + f_{x y} .

答案