在实数被积函数的定义区间 $0<x<4$ 上，$x(4-x)=4-(x-2{)}^2$。

令 $u=\frac{x-2}{2}$，则

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(4-x)}}=\int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C.$$

代回得到 $\arcsin \left(\frac{x-2}{2}\right)+C$。