真题库

已知$f(x)=\{\begin{array}{ll}(\cos x{)}^{x^{-2}},& x\ne 0\\ a,& x=0\end{array}$在$x=0$处连续，则$a=$ 。

设$y=\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}}$，则$y^{\prime \prime }{|}_{x=0}=$ 。

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(4-x)}}=$ 。

${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2+4x+8}=$ 。

已知向量组${\alpha }_1=(1,2,-1,1),{\alpha }_2=(2,0,t,0),{\alpha }_3=(0,-4,5,-2)$的秩为$2$，则$t=$ 。

设$x\to 0$时，${\mathrm{e}}^{\tan x}-{\mathrm{e}}^x$与$x^n$是同阶无穷小，则$n$为（　　）。

已知函数$y=f(x)$对一切$x$满足$x{f}^{\prime \prime }(x)+3x[f^{\prime }(x){]}^2=1-{\mathrm{e}}^{-x}$，若$f^{\prime }(x_0)=0$（$x_0\ne 0$），则（　　）。

设$g(x)=\{\begin{array}{ll}2-x,& x\le 0\\ x+2,& x>0\end{array}$，$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<0\\ -x,& x\ge 0\end{array}$，则$g[f(x)]$为（　　）。

求极限$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}$。

设$y=y(x)$由方程组$\{\begin{array}{l}x=\arctan t\\ 2y-t{y}^2+{\mathrm{e}}^t=5\end{array}$所确定，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

计算$\int {\mathrm{e}}^{2x}(\tan x+1{)}^2\mathrm{d}x$。

求微分方程$(3x^2+2xy-y^2)\mathrm{d}x+(x^2-2xy)\mathrm{d}y=0$的通解。

已知$y_1=x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2x}$，$y_2=x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}$，$y_3=x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^{-x}$是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

已知$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$，且$A^2-AB=E$，其中$E$是三阶单位矩阵，求矩阵$B$。

给定方程组$\{\begin{array}{l}2x_1+\lambda x_2-x_3=1\\ \lambda x_1-x_2+x_3=2\\ 4x_1+5x_2-5x_3=-1\end{array}$，完成下列各问：

设曲线$L$的极坐标方程为$r=r(\theta )$，$M(r,\theta )$为$L$上的任一点，$M_0(2,0)$为$L$上一定点。若极径$O{M}_0,OM$与曲线$L$所围成的曲边扇形面积值等于$L$上$M_0,M$两点间弧长值的一半，求曲线$L$的方程。

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内大于零，并满足$x{f}^{\prime }(x)=f(x)+\frac{3a}{2}{x}^2$（$a$为常数）。又曲线$y=f(x)$与$x=1,y=0$所围成的图形$S$的面积值为$2$。完成下列各问：

已知函数$f(x)$连续，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2$。设$\phi (x)={\int }_0^{1}f(xt)\mathrm{d}t$，完成下列各问：

就$k$的不同取值情况，确定方程$x-\frac{\pi }{2}\sin x=k$在开区间$(0,\frac{\pi }{2})$内根的个数，并证明结论。

设$y=f(\ln x){\mathrm{e}}^{f(x)}$，其中$f$可微，则$\mathrm{d}y=$ 。