真题库

对数螺线$\rho ={\mathrm{e}}^{\theta }$在点$(\rho ,\theta )=({\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{2}},\frac{\pi }{2})$处的切线的直角坐标方程为 。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 4& t& 3\\ 3& -1& 1\end{array}\right)$，$B$为三阶非零矩阵，且$AB=O$，则$t=$ 。

袋中有$50$个乒乓球，其中$20$个是黄球，$30$个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 。

二元函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$在点$(0,0)$处（　　）。

设在区间$[a,b]$上$f(x)>0,f^{\prime }(x)<0,f^{\prime \prime }(x)>0$，令$S_1={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x,S_2=f(b)(b-a),S_3=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)$，则（　　）。

设$F(x)={\int }_x^{x+2\pi }{\mathrm{e}}^{\sin t}\sin t\mathrm{d}t$，则$F(x)$（　　）。

设${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)$，则三条直线$a_{1}x+b_{1}y+c_1=0,a_{2}x+b_{2}y+c_2=0,a_{3}x+b_{3}y+c_3=0$（其中$a_i^2+b_i^2\ne 0,i=1,2,3$）交于一点的充要条件是（　　）。

设两个相互独立的随机变量$X$和$Y$的方差分别为$4$和$2$，则随机变量$3X-2Y$的方差是（　　）。

计算$I={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)\mathrm{d}V$，其中$\Omega$为平面曲线$\{\begin{array}{l}{y}^2=2z\\ x=0\end{array}$绕$z$轴旋转一周形成的曲面与平面$z=8$所围成的区域。

计算曲线积分${\oint }_C(z-y)\mathrm{d}x+(x-z)\mathrm{d}y+(x-y)\mathrm{d}z$，其中$C$是曲线$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\\ x-y+z=2\end{array}$。从$z$轴正向往$z$轴负向看，$C$的方向是顺时针的。

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为$N$，在$t=0$时刻已掌握新技术的人数为$x_0$，在任意时刻$t$已掌握新技术的人数为$x(t)$（将$x(t)$视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数$k>0$，求$x(t)$。

设直线$L:\{\begin{array}{l}x+y+b=0\\ x+ay-z-3=0\end{array}$在平面$\Pi$上，且平面$\Pi$与曲面$z=x^2+y^2$相切于点$(1,-2,5)$，求$a,b$之值。

设函数$f(u)$具有二阶连续导数，而$z=f({\mathrm{e}}^x\sin y)$满足方程$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}={\mathrm{e}}^{2x}z$，求$f(u)$。

设$f(x)$连续，$\phi (x)={\int }_0^{1}f(xt)\mathrm{d}t$，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=A$（$A$为常数）。

设$a_1=2,a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n}),n=1,2,\cdots$。

设$B$是秩为$2$的$5\times 4$矩阵，${\alpha }_1=(1,1,2,3{)}^T,{\alpha }_2=(-1,1,4,-1{)}^T,{\alpha }_3=(5,-1,-8,9{)}^T$是齐次线性方程组$Bx=0$的解向量，求$Bx=0$的解空间的一个标准正交基。

已知$\xi =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$是矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 5& a& 3\\ -1& b& -2\end{array}\right)$的一个特征向量。

设$A$是$n$阶可逆方阵，将$A$的第$i$行和第$j$行对换后得到的矩阵记为$B$。

从学校乘汽车到火车站的途中有$3$个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是$\frac{2}{5}$。设$X$为途中遇到红灯的次数。

设总体$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}(\theta +1)x^{\theta },& 0<x<1\\ 0,& \text{其它}\end{array}$，其中$\theta >-1$是未知参数。$x_1,x_2,\cdots ,x_n$是来自总体$X$的一个容量为$n$的简单随机样本。