真题库

设$n$（$n\ge 3$）阶矩阵$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& a& a& \cdots & a\\ a& 1& a& \cdots & a\\ a& a& 1& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a& a& a& \cdots & 1\end{array}\right)$，若矩阵$A$的秩为$n-1$，则$a$必为（　　）。

设$F_1(x)$与$F_2(x)$分别为随机变量$X_1$与$X_2$的分布函数。为使$F(x)=a{F}_1(x)-b{F}_2(x)$是某一变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（　　）。

求$\underset{n\to \infty }{\lim }(n\tan \frac{1}{n}{)}^{n^2}$（$n$为自然数）。

设$z=(x^2+y^2){\mathrm{e}}^{-\arctan \frac{y}{x}}$。完成下列各问：

设$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le x\}$，求${\iint }_D\sqrt{x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

某酒厂有一批新酿的好酒，若现在（假定$t=0$）售出，总收入为$R_0$元；若窖藏到$t$年末按陈酒价格出售，总收入为$R=R_0{\mathrm{e}}^{\frac{2}{5}\sqrt{t}}$。银行年利率为$r$，并以连续复利计息。完成下列各问：

设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f^{\prime }(x)\ne 0$。证明存在$\xi ,\eta \in (a,b)$，使得$\frac{f^{\prime }(\xi )}{f^{\prime }(\eta )}=\frac{{\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a}{b-a}{\mathrm{e}}^{-\eta }$。

设有两条抛物线$y=n{x}^2+\frac{1}{n}$和$y=(n+1)x^2+\frac{1}{n+1}$，记它们交点横坐标的绝对值为$a_n$。完成下列各问：

设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=1$。试证存在$\xi ,\eta \in (a,b)$，使得${\mathrm{e}}^{\eta -\xi }[f(\eta )+f^{\prime }(\eta )]=1$。

设函数$f(x)$在$[1,+\infty )$上连续。由曲线$y=f(x)$、直线$x=1,x=t(t>1)$与$x$轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周所形成的旋转体体积为$V(t)=\frac{\pi }{3}[t^{2}f(t)-f(1)]$。完成下列各问：

设直线$y=ax$与抛物线$y=x^2$所围成图形的面积为$S_1$，它们与直线$x=1$所围成的图形面积为$S_2$，并且$a<1$。

设向量$\alpha =(a_1,a_2,\dots ,a_n{)}^T$、$\beta =(b_1,b_2,\dots ,b_n{)}^T$都是非零向量，且${\alpha }^T\beta =0$。记$n$阶矩阵$A=\alpha {\beta }^T$。完成下列各问：

已知下列非齐次线性方程组①和②：$\text{1◯}\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-2x_4=-6,\\ 4x_1-x_2-x_3-x_4=1,\\ 3x_1-x_2-x_3=3;\end{array}\text{2◯}\{\begin{array}{l}{x}_1+m{x}_2-x_3-x_4=-5,\\ n{x}_2-x_3-2x_4=-11,\\ x_3-2x_4=-t+1.\end{array}$

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$，矩阵$B=(kE+A{)}^2$，其中$k$为实数，$E$为单位矩阵。完成下列各问：

某种商品每周的需求量$X$服从区间$[10,30]$上的均匀分布，而经销商进货数量为区间$[10,30]$中的某一整数。商店每销售一单位商品可获利$500$元；若供大于求，则削价处理，每处理$1$单位商品亏损$100$元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每$1$单位商品仅获利$300$元。为使商品所获利润期望值不小于$9280$元，试确定最少进货量。

一商店经销某种商品，每周进货数量$X$与顾客需求量$Y$是相互独立的随机变量，且都服从区间$[10,20]$上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润$1000$元；若需求量超过进货量，商店可从其他商店调剂供应，此时每单位商品获利润$500$元。计算该商店每周所得利润的期望值。

有来自三个地区的各$10,15,25$名考生的报名表，其中女生报名表分别为$3,7,5$份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。完成下列各问：

某箱装有$100$件产品，其中一、二、三等品分别为$80$件、$10$件和$10$件。现从中随机抽取一件，记$X_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若抽到 }i\text{ 等品},\\ 0,& \text{其他}\end{array}(i=1,2,3)$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\sin x+x^2\cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x)\ln (1+x)}=$ 。

设幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的收敛半径为$3$，则幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^{n+1}$的收敛区间为 。