真题库

确定常数$a,b,c$的值，使$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ax-\sin x}{{\int }_b^x\frac{\ln (1+t^3)}{t}\mathrm{d}t}=c$（$c\ne 0$）。

给定微分方程$y^{\prime \prime }\cos x-2y^{\prime }\sin x+3y\cos x={\mathrm{e}}^x$，作代换$y=\frac{u}{\cos x}$。

计算积分${\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{|x-x^2|}}$。

设有曲线$y=\sqrt{x-1}$，过原点作其切线，求由此曲线、切线及$x$轴围成的平面图形绕$x$轴旋转一周所得旋转体的表面积。

设$y=y(x)$是一向上凸的连续曲线，其上任意一点$(x,y)$处的曲率为$\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$，且此曲线上点$(0,1)$处的切线方程为$y=x+1$。

设$x\in (0,1)$。

设$(2E-C^{-1}B)A^T=C^{-1}$，其中$E$是$4$阶单位矩阵，$A^T$是$4$阶矩阵$A$的转置矩阵，$B=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -3& -2\\ 0& 1& 2& -3\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，$C=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，求$A$。

已知${\alpha }_1=(1,4,0,2{)}^T,{\alpha }_2=(2,7,1,3{)}^T,{\alpha }_3=(0,1,-1,a{)}^T,\beta =(3,10,b,4{)}^T$。

设曲线$f(x)=x^n$在点$(1,1)$处的切线与$x$轴的交点为$({\xi }_n,0)$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }f({\xi }_n)=$ 。

$\int \frac{\ln x-1}{x^2}\mathrm{d}x=$ 。

差分方程$2y_{t+1}+10y_t-5t=0$的通解为 。

设矩阵$A,B$满足$A^{\ast }BA=2BA-8E$，其中$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$E$为单位矩阵，$A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵，则$B=$ 。

设$A,B$均为$n$阶矩阵，$|A|=2,|B|=-3$，则$|2A^{\ast }{B}^{-1}|=$ 。

设$X_1,X_2,X_3,X_4$是来自正态总体$N(0,2^2)$的简单随机样本，$X=a(X_1-2X_2{)}^2+b(3X_3-4X_4{)}^2$。填写使统计量$X$服从${\chi }^2$分布的下列数值：
$a=$ ；
$b=$ ；
该分布的自由度为 。

设一次试验成功的概率为$p$，进行$100$次独立重复试验。
当$p=$ 时，成功次数的标准差最大；
其最大值为 。

设周期函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内可导，周期为$4$。又$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1$，则曲线$y=f(x)$在点$(5,f(5))$处的切线斜率为（　　）。

设函数$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+x}{1+x^{2n}}$，讨论函数$f(x)$的间断点，其结论为（　　）。

齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+{\lambda }^2{x}_3=0\\ x_1+\lambda x_2+x_3=0\\ x_1+x_2+\lambda x_3=0\end{array}$的系数矩阵记为$A$。若存在三阶矩阵$B\ne 0$使得$AB=0$，则（　　）。

若向量组$\alpha ,\beta ,\gamma$线性无关，向量组$\alpha ,\beta ,\delta$线性相关，则（　　）。

设$A,B,C$是三个相互独立的随机事件，且$P(A)>0,0<P(C)<1$，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（　　）。