当 $x\to 0$ 时，$1-\cos x=\frac{x^2}{2}+O(x^4)$，${\sin }^{4}x=x^4+O(x^6)$。

$\tan x=x+O(x^3)$，故 $\ln (1+\tan x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$，从而 $x-\ln (1+\tan x)=\frac{x^2}{2}+O(x^3)$。

分子为 $\frac{x^4}{4}+o(x^4)$，除以 ${\sin }^{4}x\sim x^4$，极限为 $\frac{1}{4}$。