真题库

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\sin nx\mathrm{d}x=$ 。

设$y=y(x)$是由方程$xy+{\mathrm{e}}^y=x+1$确定的隐函数，则$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}{|}_{x=0}=$ 。

函数$y=x^{2x}$在区间$(0,1]$上的最小值为 。

设$\alpha ,\beta$为$3$维列向量，若矩阵$\alpha {\beta }^T$相似于$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，则${\beta }^T\alpha =$ 。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{{\sin }^{4}x}$。

计算不定积分$\int \ln (1+\sqrt{\frac{1+x}{x}})\mathrm{d}x(x>0)$。

设$z=f(x+y,x-y,xy)$，其中$f$具有$2$阶连续偏导数。

设非负函数$y=y(x)(x\ge 0)$满足微分方程$x{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }+2=0$。当曲线$y=y(x)$过原点时，其与直线$x=1$及$y=0$围成区域$D$的面积为$2$，求$D$绕$y$轴旋转所得旋转体体积。

计算二重积分${\iint }_D(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid (x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 2,y\ge x\}$。

设$y=y(x)$是区间$(-\pi ,\pi )$内过点$(-\frac{\pi }{\sqrt{2}},\frac{\pi }{\sqrt{2}})$的光滑曲线。当$-\pi <x<0$时，曲线上任一点处的法线都过原点；当$0\le x<\pi$时，函数$y(x)$满足$y^{\prime \prime }+y+x=0$。求$y(x)$的表达式。

使不等式${\int }_1^x\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t>\ln x$成立的$x$的范围是（　　）。

设事件$A$与事件$B$互不相容，则（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{e}-{\mathrm{e}}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}=$ 。

设$z=(x+{\mathrm{e}}^y{)}^x$，则$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,0)}=$ 。

幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^n-(-1{)}^n}{n^2}{x}^n$的收敛半径为 。

设某产品的需求函数为$Q=Q(p)$，其对价格$p$的弹性${\epsilon }_p=0.2$，则当需求量为$10000$件时，价格增加$1$元会使产品收益增加 元。

设$\alpha =(1,1,1{)}^T$，$\beta =(1,0,k{)}^T$。若矩阵$\alpha {\beta }^T$相似于$\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，则$k=$ 。

设$X_1,X_2,\cdots ,X_m$为来自二项分布总体$B(n,p)$的简单随机样本，$\overline{X}$和$S^2$分别为样本均值和样本方差，记统计量$T=\overline{X}-S^2$，则$E(T)=$ 。

设曲线$y=f(x)$，其中$f(x)$是可导函数，且$f(x)>0$。已知曲线$y=f(x)$与直线$y=0,x=1$及$x=t(t>1)$所围成的曲边梯形绕$x$轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的$\pi t$倍，求该曲线方程。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& 0<y<x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$