真题库

已知曲线$L:y=x^2(0\le x\le \sqrt{2})$，则${\int }_{L}x\mathrm{d}s=$ 。

设$\Omega =\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le 1\}$，则${\iiint }_{\Omega }{z}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=$ 。

若$3$维列向量$\alpha ,\beta$满足${\alpha }^T\beta =2$，其中${\alpha }^T$为$\alpha$的转置，则矩阵$\beta {\alpha }^T$的非零特征值为 。

设$X_1,X_2,\dots ,X_m$为来自二项分布总体$B(n,p)$的简单随机样本，$\overline{X},S^2$分别为样本均值和样本方差。若$\overline{X}+k{S}^2$为$n{p}^2$的无偏估计量，则$k=$ 。

求二元函数$f(x,y)=x^2(2+y^2)+y\ln y$的极值。

设$a_n$为曲线$y=x^n$与$y=x^{n+1}(n=1,2,\dots )$所围成区域的面积。

椭球面$S_1$是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$绕$x$轴旋转而成，圆锥面$S_2$是由过点$(4,0)$且与该椭圆相切的直线绕$x$轴旋转而成。

计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }\frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+y^2+z^2{)}^{\frac{3}{2}}}$，其中$\Sigma$是曲面$2x^2+2y^2+z^2=4$的外侧。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& 1\\ 0& -4& -2\end{array}\right),{\xi }_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=a{x}_1^2+a{x}_2^2+(a-1)x_3^2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3$。

袋中有1个红球、2个黑球与3个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以$X,Y,Z$分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

设总体$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\lambda }^{2}x{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$，其中参数$\lambda >0$未知，$X_1,X_2,\dots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本。

函数$f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$的可去间断点的个数为（　　）。

设函数$z=f(x,y)$的全微分为$\mathrm{d}z=x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y$，则点$(0,0)$（　　）。

设函数$f(x,y)$连续，则${\int }_1^2\mathrm{d}x{\int }_x^{2}f(x,y)\mathrm{d}y+{\int }_1^2\mathrm{d}y{\int }_y^{4-y}f(x,y)\mathrm{d}x=$（　　）。

若$f^{\prime \prime }(x)$不变号，且曲线$y=f(x)$在点$(1,1)$上的曲率圆为$x^2+y^2=2$，则$f(x)$在区间$(1,2)$内（　　）。

设$A,P$均为$3$阶矩阵，$P^{T}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$。若$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),Q=({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，则$Q^{T}AQ$为（　　）。

曲线$\{\begin{array}{l}x={\int }_0^{1-t}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u,\\ y=t^2\ln (2-t^2)\end{array}$在$(0,0)$处的切线方程为 。

已知${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{k|x|}\mathrm{d}x=1$，则$k=$ 。