$1-a^4$

$a=-1$；$x=(0,-1,0,0{)}^T+k(1,1,1,1{)}^T$，$k\in \mathbb{R}$。

按第一列展开，只有第一、四个元素贡献非零项，得

两余子式分别为上、下三角行列式，按对角元素相乘即可。

对增广矩阵依次作 $r_4\leftarrow r_4-a{r}_1$、$r_4\leftarrow r_4+a^2{r}_2$、$r_4\leftarrow r_4-a^3{r}_3$，得到

前三行恒有三个主元。要有无穷多解，末行的系数与常数必须同时为零，即 $1-a^4=0$、$a(1+a)=0$。在实数范围内，共同解只有 $a=-1$。$a=1$ 时末行给出 $0=-2$，无解；$a\ne \pm 1$ 时系数矩阵可逆，只有唯一解。
令 $a=-1$，取 $x_4=k$，自下向上回代得 $x_3=k,x_2=k-1,x_1=k$。所以通解为

代入四个方程，左端依次为 $1,-1,0,0$，与右端一致，且恰有一个自由参数。