真题库

设$f(x)=({\mathrm{e}}^x-1)({\mathrm{e}}^{2x}-2)\cdots ({\mathrm{e}}^{nx}-n)$，其中$n$为正整数，则$f^{\prime }(0)=$（　　）。

如果$f(x,y)$在$(0,0)$处连续，那么下列命题正确的是（　　）。

设$I_k={\int }_0^{k\pi }{\mathrm{e}}^{x^2}\sin x\mathrm{d}x(k=1,2,3)$，则有（　　）。

设${\alpha }_1=(0,0,c_1{)}^T$，${\alpha }_2=(0,1,c_2{)}^T$，${\alpha }_3=(1,-1,c_3{)}^T$，${\alpha }_4=(-1,1,c_4{)}^T$，其中$c_1,c_2,c_3,c_4$为任意常数，则下列向量组线性相关的是（　　）。

设$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，$Q=({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，则$Q^{-1}AQ=$（　　）。

设随机变量$x,y$相互独立，且分别服从参数为$1,4$的指数分布，则$P\{x<y\}=$（　　）。

将长度为$1\text{m}$的木棒随机截成两段，则两段长度的相关系数为（　　）。

若函数$f(x)$满足$f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)-2f(x)=0$及$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2{\mathrm{e}}^x$，则$f(x)=$ 。

${\int }_0^{2}x\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x=$ 。

$\mathrm{grad}(xy+\frac{z}{y}){|}_{(2,1,1)}=$ 。

设$\Sigma =\{(x,y,z)\mid x+y+z=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0\}$，则${\iint }_{\Sigma }{y}^2\mathrm{d}S=$ 。

设$\alpha$为$3$维单位列向量，$E$为$3$阶单位矩阵，则$E-\alpha {\alpha }^T$的秩为 。

设$A,B,C$是随机事件，$A,C$互不相容，$P(AB)=\frac{1}{2}$，$P(C)=\frac{1}{3}$，则$P(AB\mid \overline{C})=$ 。

证明：$x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x\ge 1+\frac{x^2}{2}(-1<x<1)$。

求$f(x,y)=x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$的极值。

求幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{4n^2+4n+3}{2n+1}{x}^{2n}$的收敛域及和函数。

已知曲线$L:\{\begin{array}{l}x=f(t),\\ y=\cos t\end{array}(0\le t<\frac{\pi }{2})$，其中函数$f(t)$具有连续导数，且$f(0)=0,f^{\prime }(t)>0(0<t<\frac{\pi }{2})$。若曲线切线与$x$轴交点到切点距离恒为$1$，求$f(t)$及以$L$与坐标轴为边界的面积。

已知$L$是第一象限中从$(0,0)$沿$x^2+y^2=2x$到$(2,0)$，再沿$x^2+y^2=4$到$(0,2)$的曲线段，计算$I={\int }_{L}3x^{2}y\mathrm{d}x+(x^3+x-2y)\mathrm{d}y$。

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& a& 0& 0\\ 0& 1& a& 0\\ 0& 0& 1& a\\ a& 0& 0& 1\end{array}\right)$，$b=(1,-1,0,0{)}^T$。

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ -1& 0& a\\ 0& a& -1\end{array}\right)$，二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x^T{A}^{T}Ax$的秩为$2$。