记 $\Lambda =\mathrm{diag}(1,1,2)$。由 $P^{-1}AP=\Lambda$ 得 $AP=P\Lambda$，逐列比较可知 $A{\alpha }_1={\alpha }_1,A{\alpha }_2={\alpha }_2,A{\alpha }_3=2{\alpha }_3$。所以 $A({\alpha }_1+{\alpha }_2)={\alpha }_1+{\alpha }_2$，从而 $AQ=Q\Lambda$。
还需说明 $Q$ 可逆。令 $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，则 $Q=PC$，而 $|C|=1$、$P$ 可逆，故 $Q$ 可逆。因此

选 B。前两列始终属于特征值 $1$，第三列属于 $2$，不会因前两列相加而调换对角元次序。

仍取上述 $C$，由 $Q=PC$，有 $Q^{-1}AQ=C^{-1}\Lambda C$。计算

左乘 $C^{-1}$ 即作第二行减第一行，得到 $C^{-1}\Lambda C=\mathrm{diag}(1,1,2)$，故选 B。