记 $B=\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}$。由单位向量条件 ${\alpha }^{\mathrm{T}}\alpha =1$，得 $B^2=\alpha ({\alpha }^{\mathrm{T}}\alpha ){\alpha }^{\mathrm{T}}=B$。矩阵 $B$ 的每一列都是 $\alpha$ 的倍数，且 $B\alpha =\alpha \ne 0$，故 $r(B)=1$。
由 $(E-B)B=O$，乘积为零的秩不等式给出 $r(E-B)+r(B)\le 3$，所以 $r(E-B)\le 2$。另一方面，$r(E-B)+r(B)\ge r(E)=3$，所以 $r(E-B)\ge 2$。因此 $r(E-\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}})=2$。上界也可直接由 $(E-B)\alpha =0$ 且 $\alpha \ne 0$，判定 $E-B$ 不可逆而得到。

矩阵 $B=\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}$ 为实对称矩阵且 $B^2=B$，所以可以正交对角化，其特征值满足 ${\lambda }^2=\lambda$，只能为 $0$ 或 $1$。又 $\mathrm{tr}(B)={\alpha }^{\mathrm{T}}\alpha =1$，故三个特征值为 $1,0,0$。于是 $E-B$ 的特征值为 $0,1,1$，它也实对称、可对角化，其秩等于非零特征值的个数，为 $2$。