真题库

曲线$\{\begin{array}{l}x=\arctan t,\\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}$上对应于$t=1$的点处的法线方程为 。

已知$y_1={\mathrm{e}}^{3x}-x{\mathrm{e}}^{2x},y_2={\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^{2x},y_3=-x{\mathrm{e}}^{2x}$是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，该方程满足条件$y{|}_{x=0}=0,y^{\prime }{|}_{x=0}=1$的解为$y=$ 。

当$x\to 0$时，$1-\cos x\cos 2x\cos 3x$与$a{x}^n$为等价无穷小，求$n$与$a$的值。

设$D$是由曲线$y=x^{\frac{1}{3}}$、直线$x=a(a>0)$及$x$轴所围成的平面图形，$V_x,V_y$分别是$D$绕$x$轴、$y$轴旋转一周所得旋转体的体积。若$V_y=10V_x$，求$a$的值。

设平面内区域$D$由直线$x=3y,y=3x$及$x+y=8$围成，计算${\iint }_D{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

求曲线$x^3-xy+y^3=1(x\ge 0,y\ge 0)$上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

设函数$f(x)=\ln x+\frac{1}{x}$。

设曲线$L$的方程为$y=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}\ln x(1\le x\le \mathrm{e})$。

当$x\to 0$时，用$o(x)$表示比$x$高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（　　）。

函数$f(x)=\frac{|x{|}^x-1}{x(x+1)\ln |x|}$的可去间断点的个数为（　　）。

设$\{a_n\}$为正项数列，下列选项正确的是（　　）。

设随机变量$X,Y$相互独立，其概率分布见下表，则$P\{X+Y=2\}$等于（　　）。

设曲线$y=f(x)$和$y=x^2-x$在点$(1,0)$处有公共的切线，则$\underset{n\to \infty }{\lim }nf(\frac{n}{n+2})=$ 。

设函数$z=z(x,y)$由方程$(z+y{)}^x=xy$确定，则$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}=$ 。

微分方程$y^{\prime \prime }-y^{\prime }+\frac{1}{4}y=0$通解为$y=$ 。

设随机变量$X$服从标准正态分布$X\sim N(0,1)$，则$E(X{\mathrm{e}}^{2X})=$ 。

设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本为20元/件，价格函数为$P=60-\frac{Q}{1000}$（$P$是单价，单位：元；$Q$是销量，单位：件），已知产销平衡。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=0$，且$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$。证明：

设$(X,Y)$是二维随机变量，$X$的边缘概率密度为$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$。在给定$X=x(0<x<1)$的条件下，$Y$的条件概率密度$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3y^2}{x^3},& 0<y<x,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$

曲线$y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$渐近线的条数为（　　）。