2026 · 数学一 · 第 14 题 · 填空题

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\int_{1}^{+ \infty} \frac{ln ( 1 + x )}{x ^{2}} d x =

。

答案

$2 ln 2$ 。

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对 $b > 1$ 分部积分，取 $u = ln (1 + x)$ ， $d v = \frac{d x}{x ^{2}}$ ，得

\int_{1}^{b} \frac{ln ( 1 + x )}{x ^{2}} d x = [- \frac{ln ( 1 + x )}{x}]_{1}^{b} + \int_{1}^{b} \frac{d x}{x ( 1 + x )} = - \frac{ln ( 1 + b )}{b} + ln 2 + [ln \frac{x}{1 + x}]_{1}^{b} = - \frac{ln ( 1 + b )}{b} + ln \frac{b}{1 + b} + 2 ln 2.

因为 $\frac{ln ( 1 + b )}{b} \to 0$ 且 $\frac{b}{( 1 + b )} \to 1$ ，令 $b \to + \infty$ 即得积分收敛且等于 $2 ln 2$ 。

令 $x = \frac{1}{t}$ ，得 $I = \int_{0}^{1} [ln (1 + t) - ln t] d t$ 。其中 $\int_{0}^{1} ln (1 + t) d t = [(1 + t) ln (1 + t) - t]_{0}^{1} = 2 ln 2 - 1$ ；由 $t ln t \to 0$ （ $t \to 0^{+}$ ）， $\int_{0}^{1} ln t d t = [t ln t - t]_{0}^{1} = - 1$ 。两项都收敛，故可以相减，得到 $I = 2 ln 2$ 。