$E(X)=0$

$D(X)=2$

$\mathrm{Cov}(X,|X|)=0$

是，不相关。

不相互独立。

密度 $f(x)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-|x|}$ 为偶函数，而 $xf(x)$ 为绝对可积的奇函数，故 $E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)\mathrm{d}x=0$。

由对称性，$E(X^2)={\int }_0^{\infty }{x}^2{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=2$。结合第一问 $E(X)=0$，得 $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=2$。

$x|x|f(x)$ 为绝对可积的奇函数，所以 $E(X|X|)=0$。又由第一问 $E(X)=0$，故 $\mathrm{Cov}(X,|X|)=E(X|X|)-E(X)E(|X|)=0$。

二者二阶矩均存在，且上一问已得 $\mathrm{Cov}(X,|X|)=0$，所以 $X$ 与 $|X|$ 不相关。

取事件 $A=\{X>1\}$ 与 $B=\{|X|<1\}$。二者互斥，故 $P(A\cap B)=0$。

但 $P(A)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-1}>0$，$P(B)=1-{\mathrm{e}}^{-1}>0$，从而 $P(A)P(B)>0$。这与独立性所要求的 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 矛盾，故 $X$ 与 $|X|$ 不相互独立。