在 $x>0$ 上，原方程化为 $y^{\prime }-\frac{n+1}{x}y=0$。乘以积分因子 $x^{-(n+1)}$，得 $(x^{-(n+1)}y{)}^{\prime }=0$，故 $y=C{x}^{n+1}$。由 $y_n(1)=\frac{1}{n(n+1)}$，得 $C=\frac{1}{n(n+1)}$。
题设要求 $y_n$ 是定义在整个实数轴上的多项式解。多项式 $y_n(x)-\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ 在 $x>0$ 上恒为零，因而在整个实数轴上恒为零。所以

该多项式在 $x=0$ 时也满足原方程，且满足给定初值。

（1）求收敛域。由第一问，原级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$。当 $x\ne 0$ 时，相邻项绝对值之比的极限为 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+2}|x|=|x|$，故 $|x|<1$ 时绝对收敛，$|x|>1$ 时发散；$x=0$ 时各项为零，也收敛。端点 $x=\pm 1$ 时，通项绝对值均为 $\frac{1}{n(n+1)}$，而

故两个端点都绝对收敛，收敛域为 $[-1,1]$。

（2）求和函数。先在 $-1\le x<1$ 上利用 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 裂项。此时所拆出的两个级数均收敛，且 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)$；该展开在 $|x|<1$ 时成立，在 $x=-1$ 时由交错级数收敛及阿贝尔定理延拓成立。因此

第二个和式令 $m=n+1$，减去的 $m=1$ 项为 $x$。当 $x=0$ 时上述等式同样成立，和为零；当 $x=1$ 时不能将两个发散的调和型级数相减，应使用前面的有限裂项求和，得到 $S(1)=1$。综上，

也可由阿贝尔定理和 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(1-x)\ln (1-x)=0$ 求得端点和 $1$。