1987 · 数学三 · 第 8 题 · 解答题

取 $u = arcsin x$ ， $d v = x d x$ ，则 $d u = \frac{d x}{1 - x ^{2}}$ ， $v = \frac{x ^{2}}{2}$ 。因此

I = \frac{x ^{2}}{2} arcsin x_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{1 - x ^{2}} d x = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} J .

令 $x = sin t$ ，则

J = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2} t d t = \frac{π}{4} .

故

I = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{8} .

答案