1991 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

求

x \to 0 lim \frac{x - sin x}{x ^{2} ( e ^{x} - 1 )}

。

答案

$\frac{1}{6}$

当 $x \to 0$ 时， $x - sin x = \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ ，且 $e^{x} - 1 = x + o (x)$ 。

所以

\frac{x - sin x}{x ^{2} ( e ^{x} - 1 )} = \frac{\frac{x ^{3}}{6} + o ( x ^{3} )}{x ^{3} + o ( x ^{3} )} ⟶ \frac{1}{6} .