$y=2$

$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right)$

矩阵分成两个 $2\times 2$ 对角块。第一块的特征值为 $1,-1$，故特征值 $3$ 必来自第二块。

令 $\det \left(\begin{array}{cc}y-3& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=0$，得到 $2-y=0$，所以 $y=2$。

沿用第一问的参数 $y=2$。取

它的列分别是两个对称分块的标准正交特征向量。

当 $y=2$ 时，$P^{T}AP=\mathrm{diag}(1,-1,3,1)$。因此

确为对角矩阵。