真题库

设矩阵$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& y& 1\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right)$。完成下列各问：

计算不定积分$\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x$。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-2x^2,& x<-1\\ x^3,& -1\le x\le 2\\ 12x-16,& x>2\end{array}$。

设$A$为$4$阶实可逆矩阵，满足$|A|=-4,|3E+A|=0$，其中$E$是$4$阶单位矩阵，求$A$的伴随矩阵$A^{\ast }$的一个特征值。

设向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$是齐次线性方程组$AX=0$的一个基础解系，向量$\beta$不是方程组$AX=0$的解，即$A\beta \ne 0$。试证明：向量组$\beta ,\beta +{\alpha }_1,\beta +{\alpha }_2,\cdots ,\beta +{\alpha }_t$线性无关。

设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$确定。

假设一部机器在每个工作日内发生故障的概率均为$0.2$，且各工作日是否发生故障相互独立。机器发生故障时全天停止工作。若一周$5$个工作日里无故障，可获利润$10$万元；发生一次故障仍可获得利润$5$万元；发生两次故障所获利润$0$元；发生三次或三次以上故障就要亏损$2$万元。求一周内期望利润。

设$f(x)$在区间$[a,b]$上具有二阶导数，且$f(a)=f(b)=0,f^{\prime }(a)f^{\prime }(b)>0$。

某电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为$\lambda >0$的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。求电路正常工作的时间$T$的概率分布。

考虑一元二次方程$x^2+Bx+C=0$，其中$B,C$分别是将一枚色子（骰子）接连掷两次先后出现的点数。完成下列各问：

假设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，已知$E(X^k)=a_k$（$k=1,2,3,4$）。令$Z_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$，完成下列各问：

设$f(x)$为连续函数，$a$为正常数。

$\underset{x\to 0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{2}{\sin x}}=$ 。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{x^2}^{0}x\cos (t^2)\mathrm{d}t=$ 。

设$(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=2$，则$[(\vec{a}+\vec{b})\times (\vec{b}+\vec{c})]\cdot (\vec{c}+\vec{a})=$ 。

幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n+(-3{)}^n}{x}^{2n-1}$的收敛半径$R=$ 。

设三阶方阵$A,B$满足关系式$A^{-1}BA=6A+BA$，且$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{7}\end{array}\right)$，则$B=$ 。

设有直线$L:\{\begin{array}{l}x+3y+2z+1=0\\ 2x-y-10z+3=0\end{array}$及平面$\Pi :4x-2y+z-3=0$，则直线$L$（　　）。

设在$[0,1]$上$f^{\prime \prime }(x)>0$，则下列大小关系正确的是（　　）。

设$f(x)$可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$，则$f(0)=0$是$F(x)$在$x=0$处可导的（　　）。